Urne d'Ehrenfest - avec N quelconque - Corrigé

Énoncé

On considère le modèle des urnes d'Ehrenfest avec N boules,

1. Combien peut-il y avoir de boules dans l'urne A ?

2. Justifier que, pour \(0, le graphe ne relie l'état  \(k\)  qu'aux états  \(k-1\)  et  \(k+1\) . Que dire des états  \(0\)  et  \(N\)  ?

3. Tracer le graphe de la chaîne de Markov qui compte le nombre de boules dans l'urne A.

4. Donner la matrice de transition de ce graphe dans le cas \(N=5\) .

Pour toute la suite de l'exercice, on gardera  \(N=5\) .

5. Quelle est la distribution initiale \(X_0\)  de cette chaîne de Markov ? 

6. Calculer  \(X_1, X_2, X_3, X_4\) .

Solution

1. Il peut y avoir entre \(0\) et  \(N\)  boules dans l'urne A.

2. S'il y a  \(k\)  boules dans l'urne A, avec  \(0 :

• soit on choisit une boule de cette urne A pour la passer dans l'urne B, il y a alors une probabilité  \(\dfrac{k}{N}\)  de passer à l'état  \(k-1\)  ;
  
• soit on choisit une boule de l'urne B pour la passer dans l'urne A, il y a alors une probabilité  \(\dfrac{N-k}{N}\)  de passer à l'état  \(k+1\) .
  

Ce sont les deux seuls états que l'on peut atteindre.

S'il n'y a pas de boule dans l'urne A (état \(k=0\) ), on choisit obligatoirement une boule dans l'urne B pour la passer dans l'urne A, et on passe à l'état \(1\) .

Si toutes les boules sont dans l'urne A (état  \(k=N\) ), on choisit obligatoirement une boule dans l'urne A pour la passer dans l'urne B, et on passe à l'état \(N-1\) .

3. Le graphe de cette chaîne de Markov est donc le suivant.

4. Dans le cas où  \(N=5\) , la matrice de transition est donc :

\(T=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0\\0,2&0&0,8&0&0&0\\0&0,4&0&0,6&0&0\\0&0&0,6&0&0,4&0\\0&0&0&0,8&0&0,2\\0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}\)

5. Toujours dans le cas où  \(N=5\) , la distribution de départ est  \(X_0=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\) .

6.  \(X_1=\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}\)
\(X_2=\begin{pmatrix}0&0&0&0,8&0&0,2\end{pmatrix}\)
\(X_3=\begin{pmatrix}0&0&0,48&0&0,52&0\end{pmatrix}\)
\(X_4=\begin{pmatrix}0&0,192&0&0,704&0&0,104\end{pmatrix}\)

7. Il y a une distribution invariante qui est : \(X=\begin{pmatrix}0,03125&0,15625&0,3125&0,3125&0,15625&0,03125\end{pmatrix}\) .